29 нояб. 2018 г.


Алгебраїчне доведення
  1. Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.
  2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — .
  3. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

За подібністю трикутників

Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо
тоді
Це можна записати у вигляді
Якщо додати ці дві рівності, отримаєм
Іншими словами, Теорема Піфагора:
Доведення Евкліда

 
 В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C — вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.
Для формального доведення, нам необхідні чотири елементарні леми:
  • Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).
  • Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.
  • Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.
  • Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).
Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.
Перейдемо до доведення:
  1. Нехай ACB — прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.
  2. На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.
  3. З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.
  4. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.
  5. Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.
  6. Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
  7. Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.
  8. Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)
  9. Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH = AC2
  10. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2. "Піфагорові штани" — жартівлива назва цього доказу.


Комментариев нет:

Отправить комментарий